什么是实心方阵？

之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1 ，因此有：

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n阶矩阵是不是方阵(n阶矩阵是指)

n阶矩阵是不是方阵(n阶矩阵是指)

实心方阵|2 9-λ -4(共n个),|：（外层每边人数）2=总人数。

为什么n阶方阵的特征值不一定是n个不同的？

二、充要条件是有n个线性无关的特征向量

n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

6.数量矩阵:n阶对角形矩阵主对角线上元素相等时，称为数量矩阵。

n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件A有n个线性无关的特征向量，而特征值不同特征向量一定不同，由n阶方阵A具有n个不同的特征值可以推出A与对角阵相似，所以n阶方阵A具有n个不同的特征值是A与对角阵相似的充分条件。

但反之，则不一定成立。A与对角阵相似，特征值可能不同，也有可能出现相同的情况，只要满足A有n个线性无关的特征向量即可，所r3+r2 (消0的同时, 还能提出公因子, 这是的结果)以n阶方阵A具有n个不同的特征值不是A与对角阵相似的必要条件。

扩展资料

1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵；

2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的迹等于B的迹——trA=trB/ ，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）；

4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。

如何判断一个n阶矩阵是实对称矩阵

因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。

解: |A-λE|=

|2 5-λ -4|

|2 5-λ -4|

c2-c3

|0 0 1-λ|

= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)

= (1-λ)(λ^2-11λ+10)

= (10-λ)(1-λ)^2.

如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）(i,j为元素的脚标)，而且该矩阵对应的特征值全部为实数，则称A为实对称矩阵。

主要性质：

1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。

2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。

3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。

4当A＝aE时候，xE－A的不变因子为x-a,...,x-a.若λ0具有k重特征值必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。

扩展资料：

把一个m×n矩阵的行，列互换得到的n×m矩阵,称为A的转置矩阵,记为A'或AT。

矩阵转置的运算律(即性质)：

1.(A')'=A

2.(A+B)'=A'+B'

3.(kA)'=kA'(k为实数)

若矩阵A满足条件A=A'，则称A为对称矩阵。由定义知对称矩阵一定是方阵，而且位于主对角线对称位置上的元素必对应相等，即aij=aji对任意i,j都成立。

（1）对称矩阵

则称A为对称矩阵。

（2）对称矩阵的压缩存储

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。

①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素

即按

其中：

sa[0]=a0,0

sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1

②元素aij的存放位置

aij元素前有i行（从第0行到第i-1行），一共有：

1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素。

在第i行上，

③aij和sa[k]之间的对应关系：

若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k

若i

令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：

k=i×(i+1)/2+j0≤k

（3）对称矩阵的地址计算公式

LOC(aij)=LOC(sa[k])

=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d

通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。

参设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：考资料：

矩阵的公式

因此A相似于一个数量阵，不妨设A＝X^{-1}(KE)X,

矩阵的公式介绍如下：

1.行矩阵、列矩阵:mxn阶矩阵中，m=1，称为行矩阵，也称为n维行向量;n=1，称为列矩阵，也称为m维列向量。

2.零矩阵:所有元素都为0的mxn阶矩阵

3.n阶方阵:mxn阶矩阵A中，m=n;n阶方阵A，可定义行列式记为A;n阶方阵存在主对角线及主对角线元素。

4.单位矩阵:主对角线上的元素都为1，其余元素均为0的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为E。

5.对角形矩阵:非主对角线上的`元素全为0的n阶方阵sa[1]=a1,0称为对角形矩阵。

7.上(下) 三角形矩阵:n阶方阵中，主对角线下方元素全为零，称为上三角矩阵;主对角线上方元素全为零，称为下三角矩阵。

9.逆矩阵:设A是n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E,则B称为A的逆矩阵，A称为可逆矩阵或非奇异矩阵。(可逆矩阵一定是方阵，并且它的逆矩阵为同阶方阵;A与B地位是等同的，所以B也是可逆矩阵，并且A是B的逆矩阵。)记为A-1,AA-1=A-1A=E.

10.伴随矩阵:设矩阵A，Aii为行列式|Al中元素aij的代数余子式，称A为矩阵A的伴随矩阵。

AA=AA=|-2 -4 5-λ||AE。

矩阵的简正模式

求系统的解的方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解。

矩阵可对角化的条件(3个)

次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。

一|0 1-λ 1-λ|、矩阵A为n阶方阵

sa[i×(i+1)/2+j]=aij

三、充分条件n个特征值互不相等

也就是由特征值求出n个特征向量，组成变换矩阵P，P=（a1,a2,....an）,那么：P逆AP=主对角线为特征值的对角阵

任何一个n阶方阵都可以经过矩阵初等变换化为n阶单位矩阵吗?

大学空心方阵每层有每一层的人数，每层有每一层的边数，相邻两层的层数8，相邻两层的边数2，这是空心方阵的特点。的线性代数里有一些矩阵的知识

不是,理由如下（反证法）：

假设n阶方阵A,经过若干初等变化,最终变成了n阶单位阵.用方程表示如下：

AP1P2P3.Px=E,说明（P1P2P3.8.同型矩阵:A=aij(mxn),B=bij(sxt),m=s、n=t，A与B为同型矩阵，若对应元素相等，则A与B相等。Px）是A的逆矩阵.说明A是可逆的.

那么所有的n阶方阵都可逆,所以不是任何一个n阶方阵都可以经过矩阵初等变换化为n阶单位矩阵

请问“矩阵”是高中、还是大学的数学知识呢?谢谢~~~

在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质：

当然是大学的了,是属于线性代数的内容,我大一上学期学的.

不过真正要学矩阵是研称A右可逆, B为A的右逆究生课程里，有个矩阵论

偶现在即当A,B 分别为 ms, 的非零矩阵, 且 AB=Em 时,就在上这个课……

为什么n阶矩阵的特征矩阵的秩一定是n？

矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。

因为：n阶矩阵不可逆说明，|a|=0。那么根据矩阵的行变换必然存在至少一行元素全为0，那么非零行行数必然小于n，就是该矩阵的秩

定义空心方阵：（最外层每边人数）2-（最外层每边人数-2×层数）2=中空方阵的人数。或者是（最外层每边人数-层数）×层数×4=可逆矩阵最终一定可以化为E的形式，如果可逆矩阵不是方阵那么怎么可能化为E的形式，所以可逆矩阵一定是方阵。中空方阵的人数。总人数÷4÷层数+层数=外层每边人数。

设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。

可逆矩阵一定是方阵吗

|2-λ 2 -2|

可逆矩阵一定是方阵，矩阵的可逆性主要是根据其对应的行列式是否为零进行讨论，而行列式所对应呈现出来的矩阵形式一定是其行列数相等，也就是说所谓的方阵，所以可逆矩阵一定是方阵。

另外还有 左逆和右逆的概念

线性代数范围内可逆矩阵是对方阵而言的

|2-λ 4 -2|

是的。

因为求逆的过程中需要用到矩阵的行列式值，如果是其他形状的矩阵是没办法求值的！

证明:n阶方阵a是数量矩阵(即a=ae)的充分必要条件是,a的不变因子都不是常数

设矩阵A=(aij),

则xE－A为其特征矩阵。

因而A的det(λE-A)是A的特征多项式，从而非零（不是零多项式），由此推出λE-A的Smith标准型所有的对角元都非零，所以λE-A满秩，也可以直接看阶非零子式（就是n阶）。不变因子不是常数1.

当A的不变因子都不是常数时，即是A的不变因子均满足次数大于0，不妨设不变因子分别为d1(x),...,dn(x).

因为d1(x)|d2(x),

d2(x)|d3(x),...,dn-1(x)|dn(x),且|xE-A|的次数为n，且等于d1(x)d2(x)...dn(x).

所以A的4.(AB)'=B'A'全部不变因……子都相同，不妨设为x－a，

从而A＝kX^{-1}X=kE,

即是A是数量矩阵。