单调有界定理

单调有界数列的收敛性

单调有界定理是数学分析中的一条重要定理，它表明单调递增或递减且有界的数列一定是收敛的。具体来说，该定理指出：

若数列 {a_n} 单调递增且有上界，则它收敛于一个实数 L，且 L 是 {a_n} 的最小上界。 若数列 {a_n} 单调递减且有下界，则它收敛于一个实数 M，且 M 是 {a_n} 的最大下界。

证明

对于单调递增有界数列 {a_n}，令 S = {a_1, a_2, ..., a_n, ...} 为所有 a_n 的集合。由于 {a_n} 单调递增，因此 S 是一个有界闭区间 [a_min, a_max] 的子集。根据闭区间套定理，S 中存在一个最小的闭区间 [L, L]，其中 L 为 [a_min, a_max] 的某个点。

为了证明 {a_n} 收敛于 L，我们需要证明对于任意 ε > 0，存在 N 使得 n > N 时 a_n ∈ (L - ε, L + ε)。

假设存在 ε > 0 使得对于任意 N，都存在 n > N 且 a_n ∉ (L - ε, L + ε)。由于 {a_n} 是单调递增的，因此存在一个 n_0 使得对于所有 n ≥ n_0，|a_n - L| ≥ ε。但这是与 [L, L] 是 S 的最小闭区间相矛盾的。因此，假设不成立，{a_n} 确实收敛于 L。

单调递减有界数列的证明类似。

应用

单调有界定理在数学分析中有很多应用，例如：

证明级数收敛。 求数列的极限。 分析函数的收敛性和渐近线。

示例

考虑数列 {1/n}。它单调递减且有下界 0。因此，根据单调有界定理，{1/n} 收敛于 0。

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